Regra de Chió - Determinante de uma matriz de ordem maior que 4.

 Em minha viagem pelo universo da MATEMÁTICA posto aqui no blog mais um material que pode ser util. Na verdade muitas vezes durante nossa juventude não damos a devida atenção a determinados conteúdos que acabam por se tornar úteis num futuro, dependendo da área de atuação escolhida. Outras vezes o ensino deficiente das escolas publicas brasileiras acaba por privar de certos ensinamentos que servem de base para cálculos ainda mais complexos executados no ensino superior, por exemplo.

Hoje lhes mostrarei como obter a DETERMINATE de uma matriz com ordem igual ou maior que 4 através de uma regra denominada: Regra de Chió.

Vamos então ao que interessa...

 

Regra de Chió

Tomamos como base a seguinte matriz:

1 - Escolhe-se o pivô (que precisa ser um número 1) e a partir dele se exclui sua linha e coluna;

Obs: Caso não haja nenhum elemento 1 (um) na matriz divida uma fila por algum elemento de modo que apareça o elemento 1 e não se esqueça de multiplicar esse elemento ao resultado final do determinante.

2 - Subtraia de cada elemento da nova matriz o produto dos elementos que pertenciam a sua linha e coluna e que foram retirados. E multiplique o determinante da nova matriz por:

(-1)^i+j, sendo i e j a posição do elemento pivô.

3 - O determinante a ser calculado possui o mesmo valor da matriz inicial e possui uma ordem a menos.

 

4 - A partir deste ponto temos duas opções:

4.1 - Podemos obter a determinante da raiz 3x3 através do teorema de Sarrus. ("Esse sim creio que a maioria conheça.")

4.2 - Ou continuamos o calculo pelo teorema de Chió para chegarmos a ordem 2x2.

5 - Seguiremos no teorema de Chió e repetiremos então os procedimentos 1,2 e 3.

6 - Agora teremos uma matriz de ordem 2x2, como mostrado abaixo. Para resolver a determinante da mesma obedeceremos a seguinte regra: Det = a1x1 * a2x2 - (a1x2 * a2x1).

Det = -1*1*(-19*-43-(-49*-13) = -180

Como queriamos demonstrar, este é nosso resultado.

Boa noite!

 

Desempregado não! Concurseiro...

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Radiciação - Square root

Durante meus estudos atuais me deparei com uma questão. Percebi que durante a minha formação, nenhum de meus professores de matemática, sejam de ensino fundamental ou de ensino médio, me ensinou a fazer raiz quadrada de números que resultassem num numero fracionado. Ou seja, eu não sabia fazer a raiz quadrada de 5 por exemplo.

E não adianta falarem: “O número 5 não tem raiz”. Pois se a calculadora é capaz de dar um resultado a esta questão significa que há, sem duvida, uma lógica por traz deste cálculo. Mas qual seria?

Encontrei um método, intitulado como método chinês por alguns autores, no qual é possível resolver, por exemplo, a raiz quadrada de 2025(raiz = 45) sem auxilio de calculadora. E com algumas adaptações que fiz, diante do encontrado, é possível se obter quantas casas decimais se queira no resultado.

Ao final disto temos um algoritmo que pode ser facilmente implementado. Siga os passos abaixo e veja com é fácil efetuar a raiz de 1031.

1 – Primeiramente definimos quantas casas decimais queremos depois da vírgula. Para o nosso exemplo utilizarei 3 casas decimais. Neste caso acrescentamos ao numero 1031 pares de zeros (00) tantas vezes quanto forem as casas decimais desejadas, ou seja, o numero ficara assim: 1031000000.

2 – Separamos este numero em pares de algarismos começando da direita e indo para a esquerda: Ex.: 10.31.00.00.00

3 – Separamos o primeiro par e fazemos a diferença deste em relação ao primeiro numero impar: 10 -1 = 9.

Em seguida, subtraímos o resultado pelo próximo numero impar: 9 -3: 6.

E assim sucessivamente até que o resultado seja o menor número positivo.

10	31	00	00	00
-1
9
-3
6
-5
1

4 – A quantidade de números impares será o primeiro numero da raiz.

	10	31	00	00	00	3 numeros
1	-1
	9
2	-3
	6
3	-5
	1

5 – Acrescentamos ao resto, o próximo par de algarismos.

	10	31	00	00	00	3 numeros
1	-1
	9
2	-3
	6
3	-5
	1	31

6 – Pegaremos o numero da raiz (3), já encontra até o momento, multiplicá-lo-emos por 20 e adicionaremos 1: X*20+1 => 3*20+1 => 61.

	10	31	00	00	00	3
1	-1
	9
2	-3
	6
3	-5
	1	31				61	=3*20+1

7 – Este número (61) será o primeiro impar a ser subtraído do resto 131. Faça isso e sucessivamente as subtrações dos próximos números ímpares.

10	31	00	00	00	3
-1
9
-3
6
-5
1	31				61	=3*20+1
	-61
	70
	-63
	7

8 – A quantidade de números ímpares será o próximo numero da raiz.

10	31	00	00	00	32
-1
9
-3
6
-5
1	31				61	=3*20+1
1	-61
	70
2	-63
	7

9 – Repita os procedimento 5 e 6.

X*20+1 => 32*20+1 => 641.

E em seguida o procedimento 7 com o número 641.

10	31	00	00	00	32
-1
9
-3
6
-5					3
1	31				61	=3*20+1
	-61
	70
	-63				32
	7	00			641	=32*20+1
1	-6	41
		59

10 – Novamente efetuamos os passos 8 e 9.

32 + 1 número impar = 321.

X*20+1 => 321*20+1 => 6421

Neste posto chegamos a uma particularidade: o numero 59 acrescido do próximo par 00 = 5900 é menor que o numero 6421, portanto não pode ser subtraído.

Faz-se o seguinte: acrescenta-se “0” à raiz: 321+acréscimo de 0: 3210. E descemos o próximo par de números, ficando assim: 590000.

10	31	00	00	00	3210
-1
9
-3
6
-5					3
1	31				61	=3*20+1
	-61
	70
	-63				32
	7	00			641	=32*20+1
	-6	41			321
		59	00		6421	=321*20+1	6421>5900
					3210
		59	00	00	64201	=3210*20+1
	1	-6	42	01
		52	57	99
	2	-6	42	03
		46	15	96
	3	-6	42	05
		39	73	91
	4	-6	42	07
		33	31	84
	5	-6	42	09
		26	89	75
	6	-6	42	11
		20	47	64
	7	-6	42	13
		14	05	51
	8	-6	42	15
		7	63	36
	9	-6	42	17
		1	21	19

11 – Nove subtrações fazem com que acrescentemos o numero nome a raiz 3210. Sendo assim, 32109 é nossa raiz final. Porém ao começo deste processo acrescentamos três pares de “00” porque queríamos achar 3 casas decimais após a virgula. Isso significa que agora teremos que dividir este resultado (32109) por (10 elevado ao numero de pares que acrescentamos). 32109/1000 = 32,109.

Resposta: A raiz quadrada de 1031 é igual a 32,109.

Uma boa tarde a todos!

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